二 大氣的流體力學

那微繫托克方程(Navier-Stokes equation)

流體分子在空間的運動由數個變數決定:速度、密度、溫度、空間中不同形態的水和其他化學物質;施於流體分子的力包括:氣壓梯度力、重力、摩擦力等。

梯度運算符(operator): Ñ = i /x + j /y + k /z

DV/Dt = -(1/ρ) Ñp – g* r+ 磨擦力+ ……

其中-(1/ρ) Ñp 是氣壓梯度力。

在計算時,要考慮連續方程式:

Dρ/Dt + ρÑ.V = 0

如果考慮的流體團為圓柱體,上式則變為

2 Vin/ R = ∆w/∆z

其中Vin為流入圓柱體的流體速度,∆w為向上速度變化,∆z 為高度變化。

以上計算過程是假設流體密度不變,即

M2 = U2/c2<< 1

U 是流體速度,c是聲速。

影響流體運動的磨擦力包括黏滯力。作用於每單位質量的黏滯力為:

Fr = vÑ2V

v 是運動的黏滯度。

那微繫托克方程如下:

DV/Dt = -(1/ρ) Ñp + vÑ2V + g

流體中的相似定律

The Buckingham π Theorem 指出,如一個流體系統有n個物理變數,而那些變數可用k個獨立的物理數字表示,那麼物理系統可用(n – k)個次元為0(無單位)的數字表示出來,而那些數字是用原來的物理變數拼砌出來。

以下六個數在氣象計算上比較重要:

雷諾數

慣性力與黏滯力之比

羅斯貝/羅士培數

慣性力與科氏力之比

理查生數

垂直穩定度與垂直風切變之比

馬赫數

流體速率與聲速之比

普朗特數

黏滯度與導熱性之比

福祿數

動能與位能之比

不同的雷諾數代表流體有不同表現:雷諾數低於1時(慣性力弱),流體流動在不同位置是對稱的;當雷諾數稍大時,流體在阻力區後面產生漩渦,流動形狀變得不對稱;雷諾數更大時,漩渦區會繼續增大。這情況出現在低空急流經過島嶼上山脈,大量順時針和逆時針漩渦狀的雲帶在島嶼背風處形成,並向遠離島嶼方向移動。

計算也顯示,大氣運動而狂亂,而非對稱的。

科氏力(Coriolis force)

科氏力是由於地球自轉,在自轉環境內物體感受到的力,就像在遊樂場自轉輪上向前拋球一樣:在輪上的觀察者看來,球的活動是曲線,覺得球也受到一種力影響而轉向。在輪外靜止的觀察者則看到那球在做直線運動。科氏力的公式如下:

CF = f k x V

f為自轉速度x sin(緯度)x 2,k是向上指的單位向量,V是速度。在北半球,科氏力使物體向前走時同時向右加速,直至向正東移動;在南半球則使物體向左加速。

加上科氏力後,那微繫托克方程如下:

DV/Dt = -(1/ρ) Ñp + vÑ2V + g - f k x V

除非在強烈的對流系統中(如雷暴),上述的方程已經能描述大氣狀態。

大範圍移動所做的近似化(approximation)

雖然地球是圓球,但由於表面積大,在地面近距離,可不使用球坐標系,轉而使用直角坐標系。這樣雖然在大範圍會產生誤差,但卻免去使用角度來運算,故更方便。